立案后开始协查的时间并没有一个统一的规定，它 依案情而定。以下是相关法律规定及判决结果的概述：
立案后3天内开始调查取证，特殊情况下可达7天。
对于流窜作案等重大嫌疑分子，协查时间可延长至30天。
若案件紧急或涉及公共安全，公安机关通常会迅速发布协查通报，时间限制并没有明确规定。
《刑事诉讼法》第一百五十五条规定，应当逮捕的犯罪嫌疑人如果在逃，公安机关可以发布通缉令，采取有效措施，追捕归案。
《公安部关于改革完善受案立案制度的意见》第十五条指出，刑事案件立案审查期限原则上不超过3日，涉嫌犯罪线索需要查证的，立案审查期限不超过7日，重大疑难复杂案件，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至30日。
综合以上信息，可以得出以下结论：
立案后，协查工作通常会在3天内开始，但在特殊情况下，如案件紧急或涉及重大嫌疑分子，时间可能会延长至7天甚至30天。
对于需要全国协查的案件，公安机关会尽快展开调查，但具体发布协查通报的时间并没有明确的法律规定，可能会因案件的具体情况而有所不同。
因此，建议在实际操作中，当事人应与办案机关保持沟通，以获取更准确的协查时间信息。
