学过高数的小伙伴们应该都知道,在学习极限的局部性质时,有一个有界性定理,它指的是闭区间上的连续函数必有界。但当时并没有进行证明。
那是因为证明这个定理,需要运用到实数完备性的原理,而实数完备性是后面才学的知识,所以当时无法证明。老黄这里就要运用实数完备性的定理,对有界性定理进行证明。老黄会给大家分享两种证法。
证法一运用的是有限覆盖定理。即闭区间的无限开覆盖必包含有限开覆盖。那是《老黄学高数》系列视频第221讲分享的内容。无限(有限)开覆盖的定义则在第220讲。
证法二运用的是聚点定理的推论,致密性定理,即有界无限数列必含有收敛子列。那是《老黄学高数》系列视频第219讲分享的内容。往前的章节还有聚点的定义,和聚点定理等内容的介绍。
证明有界性定理:若函数f在[a,b]上连续,则f在[a,b]上有界.
证法一:(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知,【其实就是极限的局部有界性】
对每一点x0∈[a,b],都存在邻域U(x0, δx)及正数Mx, 使得
|f(x)|≤Mx, x∈U(x0, δx)∩[a,b],则
开区间集H={U(x0, δx)|x0∈[a,b]}是[a,b]的一个无限开覆盖.【由闭区间上所有点的邻域构成的开区间集,就对闭区间形成了一个无限开覆盖】
由有限覆盖定理,存在H的一个有限子集
H’={U(xi, δi)|xi∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b],
且存在正数M1,M2,…Mk, 使得对一切x∈U(xi, δi)∩[a,b],
有|f(x)|≤Mi, i=1,2,…k.
记M=max(1≤i≤k)Mi, 则对任何x∈[a,b],
x必属于某U(xi, δi),且|f(x)|≤Mi≤M.【符合函数有界的定义】
∴f在[a,b]上有界.
证法二:(应用致密性定理)若f在[a,b]上无上界,则【反证法】
对任何正整数n,存在xn∈[a,b],使得f(xn)>n.【无上界的定义】
依次取n=1,2,…,则得到数列{xn}⊂[a,b].
由致密性定理,{xn}含有收敛子列{x_(nk)}, 记lim(k→∞) x_(nk)=ξ.
由a≤x_(nk)≤b及数列极限的保不等式性,ξ∈[a,b].
∵f在ξ连续,∴存在实数A, 使lim(k→∞) f(x_(nk ))=f(ξ)=A.
又f(x_(nk))>nk≥k→+∞, ∴lim(k→∞) f(x_(nk ))=+∞,矛盾!
∴f在[a,b]上有上界. 同理可证f在[a,b]上有下界,
∴f在[a,b]上有界.
两种证明方法,你都看懂了吗?你觉得哪种更好,你更喜欢哪一种呢?
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